Digitale
Übertragungssysteme
Die Form der Datenübertragung in Rechnernetzen ist seit ihrem Beginn digitaler Natur.
Ein Verbund von Rechnern zu einem Netz stellt somit ein digitales Übertragungssystem mit
Quellen und Senken dar. Die Abgrenzung der Bitübertragungsschicht von den höheren
Schichten des OSI-Referenzmodells läßt sich daher anhand des allgemeinen Modells eines
digitalen Übertragungssystems festmachen.
Abbildung: Digitales Übertragungssystem
Alle Schichten des OSI-Referenzmodells oberhalb der Bitübertragungsschicht beruhen auf
der Verarbeitung logischer Strukturen mit dem Bit als kleinster logischer Einheit. Auf
Ebene der Bitübertragungsschicht werden hingegen jedem einzelnen Bit, bzw. Bitfolgen
begrenzter Länge, Symbole 
zugeordnet, die einen für die
Übertragung günstigen Grundimpuls s(t) in seiner Amplitude und/oder seiner
Phase diskret modulieren. Das kontinuierliche Zeitsignal m(t) des
Übertragungsmediums setzt sich daher aus einer Folge modulierter Impulse zusammen. Die
Grenze zwischen der Sicherungsschicht und der Bitübertragungsschicht ist somit im
Übergang vom logischen Bit zum physikalischen Impuls zu ziehen.
Im Gegensatz zu den immer mehr Verbreitung findenden Lichtwellenleitern (LWL),
deren Bandbreite mit ca. 10 Terrahertz jenseits des heute technisch genutzten Bereiches
liegt, ist die Bandbreite metallischer Leiter stark begrenzt. Sie ist im wesentlichen
bestimmt durch die Bereiche konstanter
- Gruppenlaufzeit und
- Dämpfung.
Sekundäre Erscheinungen, wie die mit wachsender Frequenz zunehmende Abstrahlung bei
ungeschirmten Leitern sowie künstlich in Übertragungsstrecke eingebrachte
Bandbegrenzungen durch diskrete Tief- oder Bandpässe, beschränken die nutzbare
Bandbreite z.T. sogar auf Bereiche, die weit unterhalb der physikalisch möglichen
Bandbreite des Leiters liegen. So markiert z.B. die Festlegung der Bandbreite des analogen
Telefonnetzes auf 3000 Hz nicht etwa die physikalische Grenze der Teilnehmer-Anschlussleitung, sondern ist auf die verwendeten Echoentzerrer in den analogen
Vermittlungsstellen zurückzuführen.
Es ist daher notwendig, Übertragungsverfahren zu entwerfen, die die zur Verfügung
stehende Bandbreite optimal ausnutzen. Die hierzu notwendigen mathematischen Hilfsmittel,
die Fourierreihe sowie die Fouriertransformation, sollen im folgenden erläutert werden.
Die komplexe Fourierreihe
Mit der Fourierreihe entwickelte Jean Fourier im 19. Jahrhundert eine Analysemethode
periodischer Signale. Hiernach lässt sich jede mit der Periodendauer 
periodische Funktion
durch die Superposition unendlich vieler ganzzahliger harmonischer Exponentialschwingungen
darstellen:
Die komplexen Fourierkoeffizienten F(n) stellen die Amplituden der
jeweiligen Harmonischen dar. Sie berechnen sich zu:
Zur Anwendung auf Datensignale ist die Fourierreihe jedoch prinzipiell ungeeignet, da
es sich bei ihnen um keine periodischen Funktionen handelt. Der Informationsgehalt rein
periodischer Funktionen ist zudem Null. Sie können somit nicht zur Datenübertragung
genutzt werden.
Sinnvoller und realisierbar ist dagegen die Berechnung des Spektrums der bei der
Übertragung genutzten Impulsfunktion s(t). Das hierzu notwendige
Hilfsmittel ist die Fouriertransformation. Sie lässt sich aus der Theorie der
Fourierreihenentwicklung ableiten.
Die Fouriertransformation
Die Fouriertransformation dient der Berechnung der Spektren einmaliger Vorgänge, d.h.
für Zeitfunktionen deren Periodendauer
unendlich ist. Ein berechnetes
Spektrum stellt dabei die zur Übertragung der nicht periodischen Zeitfunktion notwendige
Bandbreite dar.
Der Übergang von der Fourierreihe zur Fouriertransformation wird erreicht, indem statt
der Fourierkoeffizienten F(n) die Funktion 
im Grenzübergang zu  , 
und 
betrachtet
wird. Damit ergibt sich die Fouriertransformation zu:
Zur Konvergenz des Fourierintegrals ist es notwendig, daß sich die zu transformierende
Zeitfunktion f(t) absolut bzw. quadratisch integrieren lässt. Die
Impulsfunktion muß daher für  gegen Null gehen. Für die hier nicht weiter betrachtete
Fourierrücktransformation gilt unter denselben Voraussetzungen:
Die Anwendung der Fouriertransformation auf eine Impulsfunktion soll anhand des
Rechteckimpulses erörtert werden. Für die Zeitfunktion eines Rechteckimpulses
 gilt:
Seine Fouriertransformation liefert:
Abbildung:
Rechteck-Impuls im Zeit- und Frequenzbereich
Das Spektrum des Rechteckimpulses folgt also einer si-Funktion und ist somit, wenn auch
mit fallender Amplitude, unendlich ausgedehnt. Unter Berücksichtigung sämtlicher
Harmonischer würde daher eine auf Rechteckimpulsen basierende Übertragung ein Medium mit
unendlicher Bandbreite erfordern.
Für die Fouriertransformation beliebiger Zeitfunktionen und damit auch für den
Rechteckimpuls gilt:
Eine Stauchung des Impulses im Zeitbereich bedeutet somit immer eine Dehnung des
korrespondierenden Spektrums und umgekehrt. Das Produkt aus der Dauer und der Bandbreite
des Impulses kann daher nicht beliebig klein werden. Die Extremfälle bilden der  -Impuls und die
Exponentialschwingung. Der -Impuls verfügt über keinerlei zeitliche Ausdehnung. Sein
Spektrum berechnet sich zu:
Es ist für alle eine Konstante
Abbildung: Spektrum
des -Impulses
Die Exponentialschwingung  hingegen ist zeitlich unbegrenzt, kann jedoch durch nur eine
Spektrallinie im Bildbereich dargestellt werden.
Weder die Exponentialschwingung noch der -Impuls sind somit als Grundimpulse für die digitale
Datenübertragung geeignet.
Um eine Bandbegrenzung bei der Datenübertragung erreichen zu können, ist es
notwendig, auch Impulse mit unbeschränkter zeitlicher Ausdehnung in Betracht zu ziehen.
Diese Überlegungen gehen auf Nyquist zurück und sollen in Abschnitt betrachtet werden.
Begriffe der Informationstheorie
Die Informationstheorie beschreibt die Elemente eines Nachrichtenübertragungssystems -
Quelle, Kanal, Senke - abstrahiert von ihrer technischen Realisierung in Form von
informationstheoretischen Modellen. Aus ihnen lassen sich Obergrenzen für
Nachrichtenübertragungssysteme finden, die selbst bei beliebigem technischen Aufwand
nicht überschritten werden können.
Zu diesen Obergrenzen zählt z.B. die auf einem Kanal bei vorgegebener Bandbreite H und
einer Kanalcodierung mit K Stufen maximal erzielbare Übertragungsrate C. Sie geht auf auf
Nyquist zurück und wird daher auch Nyquistrate genannt:
bzw.
Hierbei wurde von einem absolut störungsfreien idealen Kanal ausgegangen, welcher in
der Realität nicht existiert. Reale Übertragungskanäle können jedoch in den meisten
Fällen durch den Gauß-Kanal angenähert werden.
Der Gauß-Kanal wird durch folgende Eigenschaften definiert:
- er stellt einen idealen Tiefpaß oder Bandpaß der Bandbreite H dar.
- die einzige zulässige Störung ist das weiße gaußsche Rauschen.
- die maximale Signalleistung am Kanalausgang ist auf S begrenzt.
Die auf einem Gauß-Kanal der Bandbreite H und dem Signal-Rauschabstand  erzielbare
Übertragungsrate wurde 1948 von Shannon mit
angegeben. Eine Teilnehmer-Anschlussleitung
im analogen Telefonnetz besitzt einen
typischen Signal-Rauschabstand von ca. 30 dB. Aufgrund der durch die Vermittlungsstellen
vorgegebenen Beschränkung der Bandbreite auf 3000 Hz ergibt sich daher eine maximale
Übertragungsrate von ca. 30 Kbps. Eine Erhöhung der Datenrate über diesen Wert hinaus
ist nur durch eine geeignete Komprimierung der Daten möglich.
Als letztes Modell der Informationstheorie zur Berechnung der maximal erzielbaren
Übertragungsrate bei gegebener Bandbreite soll im folgenden der binäre symmetrische
Kanal angeführt.
Leitungscodierung
Zur Abbildung eines Bits oder einer Bitsequenz fester Länge durch einen oder auch
mehrere Grundimpulse auf dem Übertragungskanal ist eine Abbildungsvorschrift notwendig.
Diese Abbildungsvorschrift wird allgemein Leitungscode genannt. Die Gesamtheit M der
Elemente eines Codes, die Symbole
, stellen das Alphabet des Codes
dar. Bei dem einfachsten, dem zweistufigen Code (M=2), wird jedes Bit durch ein Symbol
abgebildet, z.B. 
und 
. Mehrstufige Codes hingegen ordnen
einer Folge von L Bits je ein Symbol zu. Ein Beispiel für einen mehrstufigen Code
zeigt die Abbildung. In diesem Fall können pro Impuls auf dem Medium zwei Bit übertragen
werden.
Abbildung:
Ein vierstufiger
Code
Die Art der Codierung ist insbesondere von der Beschaffenheit der Übertragungsstrecke
abhängig. Übertragungsstrecken mit einem hohen Signal-Rauschabstand, wie z.B.
Satellitenstrecken, sind für Codierungen mit mehr als vier Symbolen ungeeignet. Da die
Amplituden- bzw. Phasenunterschiede, die durch die Symbole hervorgerufen werden, mit der
Anzahl letzterer abnehmen, können sie aufgrund des hohen Rauschanteiles unter Umständen
empfangsseitig nicht mehr rekonstruiert werden.
Liegt ein günstigeres Signal-Rauschverhalten vor, so kann die pro Impuls übertragene
Anzahl von Bits durch die Wahl eines höherstufigen Codes vergrößert werden. Ein
Beispiel hierfür ist die Übertragung von Daten per Modem.
Ist die zur Übertragung eines Datensignales benötigte Bandbreite geringer als die
physikalisch nutzbare des Kanals, kann es günstig sein, ein Bit durch eine Folge aus
mehreren Impulsen darzustellen. Dadurch kann z.B. die Gleichstromfreiheit des Codes oder
eine empfangsseitige Taktrückgewinnung erzielt werden (siehe Manchestercodierung).
Die Nyquistbedingung
Die Nyquistbedingung sowie die aus ihr resultierenden
Nyquistimpulse, welche bei der
digitalen Datenübertragung zum Einsatz kommen, sollen anhand des Beispiels eines
einfachen Übertragungssystems hergeleitet werden. Auf Elemente oberhalb der
Bitübertragungsschicht wird, abgesehen von der Nachrichtenquelle, bewußt verzichtet.
Abbildung: Beispiel eines Übertragungssystems
Der von der Nachrichtenquelle generierten Bitfolge werden im Mapper die
Symbole gemäß des gewählten Leitungscodes zugeordnet. Die zeitkontinuierliche
Darstellung der Symbole
liefert das Zeitsignal
Es besteht also aus einer Folge gewichteter -Impulse. Da die Übertragung dieser,
wie in Abschnitt gezeigt, weder physikalisch möglich noch sinnvoll ist, wird obige
Diracfolge im Sendeimpulsformer (Modulator) in ein physikalisch sinnvolles
Senderausgangssignal m(t) umgesetzt. Die Form des Grundimpulses s(t)
entspricht daher der Impulsantwort 
des Sendeimpulsformungsfilters.
Unter Zugrundelegung eines störungsfreien, idealisierten Kanals mit der
Übertragungsfunktion
ergibt sich das Empfangssignal hinter dem Empfängereingangsfilter
zu
Hierbei stellt die Funktion
die Gesamtimpulsantwort des
Sendeimpulsformers und des Empfängereingangsfilters dar.
Die Wiedergewinnung der digitalen Information erfolgt durch äquidistante Abtastung der
Zeitfunktion y(t) zu den Zeitpunkten nT.
Der nachfolgende Entscheider ordnet jedem Abtastwert 
das Symbol 
aus
seinem Alphabet zu, welches den geringsten Abstand zum Abtastwert aufweist. Abschließend
erfolgt durch den Unmapper, in Abhängigkeit des Leitungscodes, die Zuordnung zwischen
Symbolen und Bitfolgen.
Aus Gleichung folgt, daß die
nur dann ein getreues Abbild der
senderseitigen Folge 
sind, wenn für die Gesamtimpulsantwort gilt:
Jeder Impuls darf somit allein zu einem Abtastzeitpunkt eine Amplitude ungleich 0
besitzen. Diese Forderung wird als Nyquistbedingung bezeichnet. Impulse, die
diese Bedingung erfüllen, heißen entsprechend Nyquistimpulse. Sie sind dabei
nicht auf zeitbegrenzte Funktionen beschränkt, sondern können theoretisch eine
unendliche zeitliche Ausdehnung besitzen. Als Beispiel zeigt die Abb. die unendlich
ausgedehnte Impulsantwort des ideale Rechtecktiefpasses mit der Grenzfrequenz 
sowie
um kT gegeneinander verschobene Abbilder. Wie zu erkennen ist, besitzt zu jedem
Abtastzeitpunkt nT jeweils nur ein Impuls eine Amplitude ungleich Null. Bei
ungestörtem Kanal ist daher eine garantierte Zuordnung zwischen Abtastwerten
und
Symbolen
möglich.
Abbildung: Die si-Funktion als Nyquistimpuls
Der ideale Rechtecktiefpaß stellt bei gegebener Symbolrate 
das Optimum bzgl. der
benötigten Bandbreite dar. Aufgrund der unendlichen Ausdehnung seiner Impulsantwort ist
er jedoch für reale Systeme nicht geeignet. Die Nyquistbedingung wird jedoch nicht nur
vom idealen Rechtecktiefpaß erfüllt, sondern von allen Filtern, deren Betragsspektren
eine um 
symmetrische Flanke besitzen. Diese Filter werden als Filter mit
Nyquistflanke bezeichnet. Zu ihnen gehören die sogenannten Cosinus-Rolloff-Tiefpässe
:
Abbildung: Cosinus-Rolloff-Tiefpässe
Mit wachsendem Rolloff-Faktor steigt zwar die zur Übertragung notwendige
Bandbreite, jedoch wird hiermit gleichzeitig ein schnelles Abklingen der Impulsantwort
erreicht, so daß deren Amplitude bereits nach wenigen Perioden gegen Null geht.
Kommen sowohl sende- als auch empfangsseitig Cosinus-Rolloff-Filter zum Einsatz, so hat
auch deren Gesamtimpulsantwort g(t) wiederum
Cosinus-Rolloff-Charakter. Eine
zur digitalen Übertragung geeignete Sendeimpulsform s(t) kann daher durch
die Impulsantwort eines Cosinus-Rolloff-Filters beschrieben werden:
Abbildung: Cosinus-Rolloff-Impulse
Es handelt sich bei s(t) demnach um
si-Funktionen, deren Amplituden in
Abhängigkeit des Rolloff-Faktors r bedämpft werden. Sie bilden die
physikalische Basis eines digitalen Übertragungssystems. |
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